[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.174 \(\int (c+d x) \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=58 \[ -\frac {d \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {d \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^2}-\frac {(c+d x) \sin (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \csc (a+b x)}{b} \]

[Out]

-d*arctanh(cos(b*x+a))/b^2-d*cos(b*x+a)/b^2-(d*x+c)*csc(b*x+a)/b-(d*x+c)*sin(b*x+a)/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.06, antiderivative size = 58, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 20, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.250, Rules used = {4408, 3296, 2638, 4410, 3770} \[ -\frac {d \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {d \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^2}-\frac {(c+d x) \sin (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \csc (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

-((d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2) - (d*Cos[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)*Csc[a + b*x])/b - ((c + d*x)*Sin[a + b*x]
)/b

Rule 2638

Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Cos[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3296

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cos[e + f*x])/f, x] +
Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4408

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 4410

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp
[((c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^n)/(b*n), x] + Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /; Fr
eeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int (c+d x) \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx &=-\int (c+d x) \cos (a+b x) \, dx+\int (c+d x) \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx\\ &=-\frac {(c+d x) \csc (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sin (a+b x)}{b}+\frac {d \int \csc (a+b x) \, dx}{b}+\frac {d \int \sin (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac {d \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^2}-\frac {d \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x) \csc (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sin (a+b x)}{b}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.68, size = 104, normalized size = 1.79 \[ -\frac {2 b c \sin (a+b x)+2 b c \csc (a+b x)+2 b d x \sin (a+b x)+2 d \cos (a+b x)+b d x \tan \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+b d x \cot \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-2 d \log \left (\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+2 d \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )}{2 b^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

-1/2*(2*d*Cos[a + b*x] + b*d*x*Cot[(a + b*x)/2] + 2*b*c*Csc[a + b*x] + 2*d*Log[Cos[(a + b*x)/2]] - 2*d*Log[Sin
[(a + b*x)/2]] + 2*b*c*Sin[a + b*x] + 2*b*d*x*Sin[a + b*x] + b*d*x*Tan[(a + b*x)/2])/b^2

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.46, size = 95, normalized size = 1.64 \[ -\frac {4 \, b d x - 2 \, {\left (b d x + b c\right )} \cos \left (b x + a\right )^{2} + 2 \, d \cos \left (b x + a\right ) \sin \left (b x + a\right ) + d \log \left (\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) \sin \left (b x + a\right ) - d \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 4 \, b c}{2 \, b^{2} \sin \left (b x + a\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(4*b*d*x - 2*(b*d*x + b*c)*cos(b*x + a)^2 + 2*d*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + d*log(1/2*cos(b*x + a) + 1/2)
*sin(b*x + a) - d*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) + 4*b*c)/(b^2*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 5.16, size = 1967, normalized size = 33.91 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(b*d*x*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^4 + b*c*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^4 + 6*b*d*x*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2
 + 8*b*d*x*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a)^3 - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) +
tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)
^4*tan(1/2*a)^3 + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/
2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^3 + 6*b*d*x
*tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^4 - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*
x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2
*a)^4 + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 +
 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a)^4 + 6*b*c*tan(1/2*b*x
)^4*tan(1/2*a)^2 + 8*b*c*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a)^3 - 2*d*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^3 + 6*b*c*tan(1/2*b*x)^2*
tan(1/2*a)^4 - 2*d*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a)^4 + b*d*x*tan(1/2*b*x)^4 - 8*b*d*x*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) - d*
log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^
2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a) + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2
*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/
2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a) - 12*b*d*x*tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 - 8*b*d*x*tan(1/2
*b*x)*tan(1/2*a)^3 + b*d*x*tan(1/2*a)^4 - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) +
 tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x
)*tan(1/2*a)^4 + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2
*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a)^4 + b*c*tan(1/
2*b*x)^4 - 8*b*c*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + 2*d*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a) - 12*b*c*tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^
2 + 12*d*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a)^2 - 8*b*c*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a)^3 + 12*d*tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^3 + b*
c*tan(1/2*a)^4 + 2*d*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a)^4 + 6*b*d*x*tan(1/2*b*x)^2 + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2
 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)
/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^3 - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*t
an(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x)^3 +
8*b*d*x*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 6*b*d*x*tan(1/2*a)^2 + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)
^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 +
1))*tan(1/2*a)^3 - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1
/2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*a)^3 + 6*b*c*tan(1/2*b*x)^2
- 2*d*tan(1/2*b*x)^3 + 8*b*c*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) - 12*d*tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a) + 6*b*c*tan(1/2*a)^2 - 1
2*d*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a)^2 - 2*d*tan(1/2*a)^3 + b*d*x + d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*
x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2
+ 1))*tan(1/2*b*x) - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan
(1/2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x) + d*log(4*(tan(1/2*b*
x)^4*tan(1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 - 2*tan(1/2*b*x
)*tan(1/2*a) + 1)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*a) - d*log(4*(tan(1/2*b*x)^4 + 2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/2*a) + tan
(1/2*b*x)^2*tan(1/2*a)^2 + tan(1/2*b*x)^2 + 2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a) + tan(1/2*a)^2)/(tan(1/2*a)^2 + 1))*tan(
1/2*a) + b*c + 2*d*tan(1/2*b*x) + 2*d*tan(1/2*a))/(b^2*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a)^3 + b^2*tan(1/2*b*x)^3*tan(1/
2*a)^4 + b^2*tan(1/2*b*x)^4*tan(1/2*a) + b^2*tan(1/2*b*x)*tan(1/2*a)^4 - b^2*tan(1/2*b*x)^3 - b^2*tan(1/2*a)^3
 - b^2*tan(1/2*b*x) - b^2*tan(1/2*a))

________________________________________________________________________________________

maple [C]  time = 0.14, size = 124, normalized size = 2.14 \[ \frac {i \left (b d x +c b +i d \right ) {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}}{2 b^{2}}-\frac {i \left (b d x +c b -i d \right ) {\mathrm e}^{-i \left (b x +a \right )}}{2 b^{2}}-\frac {2 i {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )} \left (d x +c \right )}{b \left ({\mathrm e}^{2 i \left (b x +a \right )}-1\right )}-\frac {d \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right )}{b^{2}}+\frac {d \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}-1\right )}{b^{2}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x)

[Out]

1/2*I*(b*d*x+c*b+I*d)/b^2*exp(I*(b*x+a))-1/2*I*(b*d*x+c*b-I*d)/b^2*exp(-I*(b*x+a))-2*I*exp(I*(b*x+a))*(d*x+c)/
b/(exp(2*I*(b*x+a))-1)-d/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+d/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.39, size = 2110, normalized size = 36.38 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(2*c*(1/sin(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 2*a*d*(1/sin(b*x + a) + sin(b*x + a))/b - (((b*x + a)*sin(2*b*x +
2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^3 + (b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*si
n(3*b*x + 3*a)^3 - 6*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 - 2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - (3*(b*x + a)*si
n(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 - ((
b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + ((b*x
+ a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*s
in(2*b*x + 2*a) - 8*(b*x + a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 - ((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*sin(2
*b*x + 2*a)^2 + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x +
a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(2*b*x + 2*a)^2 + cos(b*x + a)^2 + (13*(b*x + a)*cos(b*x + a)
^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 1)*cos(3*b*x + 3*a) +
2*(3*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 + (3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x
+ 2*a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*
sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a)
 + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos
(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b
*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*
log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(
2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a
)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(
2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos
(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x +
a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a)
+ sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) +
 ((b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2
+ (b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + 2*(((b*x + a)*
cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a
))*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2
 + 2*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2)*
sin(2*b*x + 2*a) + a)*sin(3*b*x + 3*a) - 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + (b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*
sin(2*b*x + 2*a) - (6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*d/(((cos(2*b*x + 2*a)^2
 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b
*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x
 + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2
*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)
*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*
cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b))/b

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 2.31, size = 162, normalized size = 2.79 \[ {\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (\frac {\left (b\,c+d\,1{}\mathrm {i}\right )\,1{}\mathrm {i}}{2\,b^2}+\frac {d\,x\,1{}\mathrm {i}}{2\,b}\right )+{\mathrm {e}}^{-a\,1{}\mathrm {i}-b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (\frac {\left (-b\,c+d\,1{}\mathrm {i}\right )\,1{}\mathrm {i}}{2\,b^2}-\frac {d\,x\,1{}\mathrm {i}}{2\,b}\right )-\frac {d\,\ln \left ({\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}+1{}\mathrm {i}\right )}{b^2}+\frac {d\,\ln \left (d\,2{}\mathrm {i}-d\,{\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}}\,{\mathrm {e}}^{b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,2{}\mathrm {i}\right )}{b^2}+\frac {2\,{\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (c+d\,x\right )}{b\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(a + b*x)*cot(a + b*x)^2*(c + d*x),x)

[Out]

exp(a*1i + b*x*1i)*(((d*1i + b*c)*1i)/(2*b^2) + (d*x*1i)/(2*b)) + exp(- a*1i - b*x*1i)*(((d*1i - b*c)*1i)/(2*b
^2) - (d*x*1i)/(2*b)) - (d*log(exp(a*1i + b*x*1i)*1i + 1i))/b^2 + (d*log(d*2i - d*exp(a*1i)*exp(b*x*1i)*2i))/b
^2 + (2*exp(a*1i + b*x*1i)*(c + d*x))/(b*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i - 1i))

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (c + d x\right ) \cos {\left (a + b x \right )} \cot ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral((c + d*x)*cos(a + b*x)*cot(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]